1936.gadā Monreālā dzimušais Rišārs visu NHL karjeru pavadīja vietējā "Canadiens" komandā, tajā nospēlējot 20 sezonas. Tikai viņa bijušajam komandas biedram Žanam Belivū ir tikpat daudz sezonu "Canadiens" kreklā.
Anrī NHL debitēja 1955./1956.gada sezonā, gūstot 19 vārtus un veicot 21 rezultatīvu piespēli. Jau savā pirmajā sezonā viņš izcīnīja Stenlija kausa trofeju, tāpat arī nākamajās četrās sezonās kanādietis kļuva par NHL čempionu.
Kopumā viņa vārds uz Stenlija kausa trofejas tika iegravēts 11 reizes, un šo rekordu nākotnē būs tikpat kā neiespējami pārspēt.
Rišārs ar 1258 mačiem ir spēlēm bagātākais "Canadiens" hokejists. Karjeras laikā viņš regulārajā čempionātā guva 388 vārtus, kas ir trešais labākais rezultāts starp komandas centra uzbrucējiem. Kopumā viņš veica 688 spēles un iekrāja 1046 punktus, arī šajos statistikas rādītājos ieņemot trešo vietu vienībā.
1973.gadā Rišārs kļuva par devīto NHL hokejistu, kurš sasniedzis 1000 punktu robežu. Karjeras laikā kanādietis desmit reizes spēlēja NHL Visu zvaigžņu mačā, 1967.gadā tiekot atzīts par spēles vērtīgāko hokejistu.
Pēc karjeras beigām Rišārs 1979.gadā tika uzņemts Hokeja slavas zālē, bet četrus gadus pirms tam "Canadiens" iemūžināja viņa 16.numuru.