N. Klētnieks ir aktieru dinastijas pārstāvis – aktieru Karpa un Mildas Klētnieku dēls, aktrises Dzintras Klētnieces vīrs, aktrises Kristīnes Klētnieces tēvs. Studiju laikā spēlējis Dailes teātrī, vēlāk viņa profesionālā dzīve saistīta ar Liepājas teātri, kur viņš no 1971.gada strādā par aktieri, bet no 1978.gada līdz 1988.gadam iestudē. Intelektuālas ievirzes režisors – raksturo teātra kritiķe Silvija Geikina, uzskaitot 20. gadsimta 80.gados tapušās E. Olbija Kam no Vulfa kundzes bail un F. Direnmata Spēlēsim Strindbergu. Tās pieder pie Latvijas teātra labākajiem darbiem. "Naura Klētnieka radošā darba spilgtākais posms saistās ar Liepājas teātri, kur, strādājot kopā ar Oļģertu Kroderu, viņam 80.gadu sākumā izdodas teātri izraut no provinciālisma, padarīt tā iestudējumus oriģinālus. N. Klētnieks īpašus panākumus gūst interpretējot rietumu dramaturģiju, kuras centrā sašķelta, pretrunīga personība, kas analizēta ar psihoanalītisku pieeju. Tāpat N.Klētniekam tuva, personiski izjusta tēma ir savas paaudzes ierobežotās iespējas sevi realizēt Padomju režīmā," raksta teātra kritiķe Silvija Radzobe.
1989.gadā N. Klētnieks kļūst par Daugavpils teātra galveno režisoru, vadot to līdz 1994.gadam. "Ne jau viss Naurim izdevās, taču viņa laiks Daugavpils teātrī ir vērā ņemams un nozīmīgs, jo ar viņa vārdu saistīts pašreizējā teātra sākums," uzsver S. Geikina. Bet S. Radzobe atceras: "Daugavpilī teātri viņš cēla faktiski tukšā vietā, organizējot tā materiāli tehnisko bāzi, kļūstot par pedagogu aktierkursiem. Šajā laikā es N. Klētnieku iepazinu tuvāk, redzēju viņu kā sirsnīgu, asprātīgu cilvēku, kurš ļoti mīlēja studentus un prata pakāpties malā, ja citi pedagogi kādā aspektā bija veiksmīgāki. Viņu neinteresēja intrigas, bet aktieri. Radās arī iespaids, ka viņš ir garīgi trausls un pret dzīves triecieniem neaizsargāts cilvēks. Atmiņā paliks gan Naura Klētnieka cilvēciskās vājības drosmīgi atmaskojošā režija, gan viņa paša iekšējais smalkums."
"Pēdējos gados Nauris no profesionālās skatuves bija it kā pazudis. Viņš godprātīgi, ar lielu mīlestību un interesi strādāja ar vairākiem amatieru teātru kolektīviem, galvenokārt iestudēdams latviešu klasiķu darbus. Klusi, nemanāmi, nevienam neuzbāzdamies un par sevi neatgādinot, viņš darīja svētīgu un mums visiem tik vajadzīgu darbu - uzturēja dzīvu teātra mīlestības un spēlēšanas garu pat attālos Latvijas novados," atceroties N. Klētnieku raksta Silvija Geikina.
Atvadīšanās no N. Klētnieka 30.XII plkst. 14 Krematorijas Lielajā zālē.